一种开方算法

介绍

这个方法是我之前做数学题的时候，苦于没有一个好的方法可以化简有双重根号的式子，而费了一番功夫想出来的。如下所示：

$$ \begin{aligned} & 若存在 x, y, a, b \in R，且 x > y > 0, a > b > 0，使得 x + y = \sqrt{a+b}或x - y = \sqrt{a-b}，\\ &则 x = \sqrt{\frac {a + \sqrt{a^2-b^2}} 2}, y = \sqrt{\frac {a - \sqrt{a^2-b^2}} 2} \end{aligned} $$

证明

证明非常简单，把上面几个式子代换一下，就可以得到关于a和b的两个恒等式。

思考过程

我认为想法比结论更重要。因为有时结论似乎挺显而易见的。但是为了得到结论，思考过程通常不是一帆风顺的，而是包含了许多不成熟的想法，认清了它们之后，就要从思维的岔路中折转回去。最终，我们会得到想要的答案。而且，我们不仅收获了结论，还领悟到了思考过程中那些从前不为我们所知的东西。

我整理了一下我的思考过程，发现这种方法有点类似向量。

根据条件，结论应该是由正面推出来的。

$$ \begin{aligned} & 已知 x+y = \sqrt{a+b} \\ & 两边平方，得 x^2 + y^2 + 2xy = a + b \quad (1) \\ & 令 2xy = b，则 y = \frac b {2x} \quad (2)，此时 (1) 变为 x^2 + y^2 = a \\ & 将(2)代入(1)，得 x^2 + \frac {b^2} {4x^2} = a，即 x^4 - ax^2 + \frac {b^2} 4 = 0 \\ & 解得x^2 = \frac {a \pm \sqrt {a^2-b^2}} 2，再由(2)可得y^2 = \frac {a \pm \sqrt {a^2-b^2}} 2。显然 a - \sqrt {a^2-b^2} > 0 \\ & 又x > y > 0，所以 x = \sqrt{\frac {a + \sqrt{a^2-b^2}} 2}, y = \sqrt{\frac {a - \sqrt{a^2-b^2}} 2} \\ & 同理，可算出 x-y = \sqrt{a-b} 时x与y的值仍与上述结果相同。 \end{aligned} $$